일상 여행기/미분류2019. 10. 25. 20:12

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전국민 중 대부분이 아마 '수학'이라는 말을 듣는 순간 인상을 구길 거에요. 학창 시절에 수학 때문에 머리 아팠고 고생했던 안 좋은 기억이 모두 하나씩은 다 있을 거니까요. 그래서 수많은 사람들이 '수학'이라는 단어를 듣는 순간 이렇게 이야기해요.


"수학? 인생에서 전혀 쓸 데 없는 학문이잖아. 그냥 더하기, 빼기, 나누기, 곱하기만 알면 되지."


솔직히 아예 틀린 말은 아니에요. 계산기 두드리며 계산하기 위해 반드시 손으로 처음부터 끝까지 전부 계산할 줄 알아야하는 것은 아니니까요. 일상 생활 대부분에서는 계산기 하나만 있으면 생활하는 데에 별 지장이 없어요. 예전에는 은행 이자 복리 계산 때문에 고교 과정 수학이 필요했어요. 손으로 일일이 하나씩 곱해가며 근성으로 푸는 방법도 있기는 하지만요. 그러나 지금은 복리 계산조차 간단히 계산기로 해결할 수 있어요. 인터넷 검색창에 '이자계산기'라고 검색어 입력하면 이자 계산하는 계산기가 뜨거든요. 여기에서 이율을 복리로 설정하면 간단히 복리 문제를 해결할 수 있어요.


예전에는 표준편차도 손으로 일일이 다 계산해야 했지만 지금은 엑셀에 데이터만 입력하고 표준편차 계산하라고 명령어 선택만 하면 되요. 표준편차가 자료가 평균 중심으로 얼마나 많이 퍼져 있는지 - 간단히 말해서 얼마나 값이 제각각인지 보여주는 것이라는 것만 알면 손으로 다 계산해서 구할 필요가 없다는 거에요.


그래서 나날이 현재 수학 교육에서 강조하는 손으로 처음부터 끝까지 다 풀 수 있는 능력의 중요성은 확실히 엄청나게 떨어져가고 있어요.


그런데 생각해봅시다.


6+2x3 = ?


무수히 많은 사람들이 말하는 '이것만 알면 된다'는 수준의 간단한 사칙연산 문제에요. 그런데 이것을 틀리는 사람이 꽤 많아요. 별 생각 없이 앞에서부터 쭉 풀면 틀리거든요. 사칙연산에는 풀어야하는 순서가 있어요.


사칙연산 계산 순서

괄호→곱셉,나눗셈→덧셈,뺄셈


이것을 알고 있는 사람들조차 왜 이렇게 해야 하는지 진짜 이유를 몰라요. 그저 그렇게 배웠기 때문에 그렇다고 대답할 뿐이에요. 인터넷을 검색해서 이유를 찾아봐도 어려운 소리를 많이 써놓기는 했는데 정작 결론 보면 '그건 약속이니까 그렇게 쓴다'는 말 밖에 없어요. 전혀 수학적이지도 않고 언어적이지도 않아요. 납득이 전혀 안 되는 말일 뿐이죠. 그래서 오늘도 사람들은 사칙연산 계산 순서에 대해 '괄호→곱셉,나눗셈→덧셈,뺄셈' 라고 달달달 외워요. 이유가 뭐냐고 물어보면 그냥 원래 그렇다고 대답할 뿐이구요.


대체 왜 사칙연산 순서는 괄호를 먼저 계산한 후에 곱셉,나눗셈을 계산하고 나서 맨 마지막에 덧셈,뺄셈을 계산해야 할까요?


이건 정말 무논리에 억지로 강요된 약속에 불과한 걸까요?


사칙연산 계산 순서가 괄호→곱셉,나눗셈→덧셈,뺄셈인 진짜 이유


정답부터 말하자면 '절대 아니다'에요. 괄호→곱셉,나눗셈→덧셈,뺄셈 순서로 계산해야 하는 데에는 확실한 수학적, 언어적 근거가 있어요.


모든 수는 두 수의 곱으로 표현할 수 있기 때문이다!


정답은 모든 수는 두 수의 곱으로 표현할 수 있기 때문이에요.


모든 수는 두 수의 곱으로 표현할 수 있기 때문에 사칙연산에서 반드시 곱셈, 나눗셈을 먼저 한 후, 덧셈, 뺄셈을 해야만 해요.


만약 자연수의 사칙연산 수준이라면 약수, 배수 때문이라고 알아둬도 괜찮아요. 어린 자녀가 '엄마, 아빠, 왜 항상 곱셈, 나눗셈부터 먼저 계산한 후에 덧셈, 뺄셈을 계산해야 해?'라고 물어본다면 '그건 약수, 배수 때문이란다'라고 말해줘도 괜찮아요.


모든 수는 약수를 갖고 있어요. 여기에서 약수란 자연수를 나누어 떨어지게 할 수 있는 자연수에요. 예를 들어서 6 같은 경우는 1x6, 2x3 으로 표현할 수 있어요. 1x6=6, 2x3=6이니까요. 6의 약수는 1,2,3,6이에요.


이제 설명에 들어갈께요.


6+6=12


이건 누구나 암산으로 풀 수 있는 문제에요. 6 더하기 6은 12. 이런 건 유치원생도 웃으면서 풀 수 있는 산수에요. 우리가 인생에서 그렇게 필요하다고 하는 너무나 중요한 자연수의 사칙연산 문제에요.


그런데 6은 약수로 1,2,3,6 이 있어요. 그러므로 6은 2x3으로 표현할 수도 있어요. 2x3=6이잖아요. 이건 조금 난이도 높네요. 무려 어린이들에게 한글 깨우침 이후 찾아오는 인생 최악의 두 번째 시련인 구구단 암기 레벨이에요.


6+6=12


이 수식에서 이제 두 번째 6을 2x3으로 바꿔볼 거에요.


6+2x3


두 번째 6을 2x3으로 바꾼다면 위와 같이 되요.


6+6 = 6+2x3


위에서 6+6=12 라는 것을 풀어냈어요. 그러면 이제 똑같은 값이지만 두 번째 6을 2x3으로 바꾼 6+2x3 을 풀어볼 거에요.


1. 순서대로 계산

6+2x3 => 8x3 = 24

2. 곱셈, 나눗셈 계산 후 덧셈, 뺄셈 계산

6+2x3 = 6+6 = 12


이제 이해되셨나요?


모든 수는 2개 이상의 수의 곱으로 표현할 수 있어요. 그렇기 때문에 만약 곱셉,나눗셈→덧셈,뺄셈 순서대로 풀지 않으면 저렇게 똑같은 수를 다르게 표현했을 뿐인데 계산해보면 전혀 다른 결과가 나와버려요.


사칙연산 순서


아직도 이게 강요에 의한 것이고 그냥 쓸 데 없이 정해놓은 거라구요? 그러면 아래 그림을 보세요.


수학


우리가 초등학교 저학년 산수 시간 때 배우는 덧셈, 곱셈의 이해에 나오는 그림으로 표현하면 저래요.


여기에서 '괄호를 쓰면 되지 않냐!'라고 주장하는 사람이 꼭 있어요.


모든 수에 1을 곱하면 그 자신이 된다.


모든 수에 1을 곱하면 그 자신이 되요. 즉 모든 수는 x1 을 앞이나 뒤에 써줄 수 있어요. 우리는 편하게 그냥 6이라고 쓰지만, 이것을 1x6으로 표현해도 된다는 것이에요. 이 문제는 괄호 앞에 '곱하기 1'을 써주면 또 똑같은 문제가 발생한다는 거에요.


01. 6+6=12

02. 6+(2x3)

03. 6+1x(2x3)


1번식, 2번식, 3번식 모두 두 번째 6만 다르게 표현한 것 뿐이에요. 2x3x1 = 2x3= 6 이라는 거 다 암산으로 가능하잖아요. 전국 수십만 수백만 어린이가 우리를 쳐다보고 있어요. 여기에서 머리 아프다고 하면 구구단 6단 외우기 시작한 어린이에게 지는 거에요.


3번 식인 6+1x(2x3) 을 곱셉,나눗셈→덧셈,뺄셈 순서를 무시하고 계산한 결과와 곱셉,나눗셈→덧셈,뺄셈 순서대로 계산한 결과를 비교해볼께요.


1. 순서대로 계산

6+1x(2x3) => 6+1x6 => 7x6 => 42

2. 곱셈, 나눗셈 계산 후 덧셈, 뺄셈 계산

6+1x(2x3) = 6+1x6 = 6+6 = 12


산수


괄호를 쓴다고 해서 이 문제는 해결되지 않아요. 괄호 앞에 1x 을 써버리는 순간 똑같은 문제가 발생하거든요.


모든 수는 2개 이상의 수의 곱으로 표현할 수 있기 때문에 반드시 괄호→곱셉,나눗셈→덧셈,뺄셈 순서로 계산해야만 해요.


사실 꼭 저렇게 써야만 하는지 의문이 들 거에요. 분명히 이것은 인습이고 권위주의 어쩌구 거리면서 또 트집잡는 인간이 100% 존재할 거에요. 그리고 이게 일상생활과 별 관련없다고 여기는 사람은 더 많을 거구요. 억지로 순서대로 계산해도 답이 맞는 방법을 만들어서 이렇게 해도 된다고 하는 사람들도 있을 거구요.


그래서 그러면 사칙 연산 순서가 왜 괄호→곱셉,나눗셈→덧셈,뺄셈으로 정해졌는지 근본적인 이유를 설명하도록 할께요.


근본적인 이유는 바로...


인간의 오감을 통해 인지한 것을 가장 직관적으로 표현하는 방법이기 때문이다.


일단 아래 그림을 보세요.


사칙연산 순서 원리


위 그림에서 빨간공은 총 몇 개 인가요? 답은 12개에요. 그냥 세 보면 되요.


그런데 저걸 한 번 말로 표현해 볼께요.


빨간공 6개 들어간 주머니 1개에 빨간공 2개 들어간 주머니 3개 들어 있는 상자 1개, 빨간공 전부 몇 개?


수학 사칙연산 순서 원리


위 문장을 이제 수식으로 바꿔볼께요. 질문이 빨간공 총 갯수니까 빨간공은 전부 1로 표시할께요.


빨간공 6개 들어간 주머니 1개

-> 6(빨간공 6개 들어간 주머니)x1(1개)

-> 6x1

-> +(에)

-> +

빨간공 2개 들어간 주머니 3개 들어 있는 상자 1개

-> ((상자시작)2(빨간공 2개 들어간 주머니)x3(3개))(상자 끝)x1(들어 있는 상자 1개)

-> (2x3)x1


'빨간공 6개 들어간 주머니 1개에 빨간공 2개 들어간 주머니 3개 들어 있는 상자 1개'라는 문장은 6x1+(2x3)x1 로 표현할 수 있어요. 단, 보다 더 우리가 인지한 것 그대로 표현한다면 1x6+1x(2x3) 이 되겠죠. 공 6개 들어 있는 주머니부터 보고 상자 전체를 먼저 볼 거니까요.


산수 사칙연산 순서 원리


이런 장면은 과일 가게 및 마트 과일 진열대에서 정말 많이 목격하고 경험해요. 선물용 과일 상자 보면 상자에 따라 과일 갯수가 다르잖아요. 과일 봉지에 들어 있는 과일 갯수도 몇 개씩 정해져서 나눠서 담겨 있구요. 과일 봉지 및 상자를 골랐을 때 과일 총 몇 알을 샀는지 세어볼 때, 이런 식으로 인지해요. 그것을 아주 직관적으로 표기하면 위 그림에서 나온 것처럼 나오구요.


사과 6개 들어 있는 봉지 하나와 사과 2개 들어 있는 봉지 3개가 담겨 있는 상자 하나를 봤을 때 머리 속에 떠오르는 대로 수식을 쓰면 1x6+1x(2x3) 으로 쓰게 되요. 이렇게 우리가 신체 감각적으로 인지한 것을 그대로 표현한 후 계산한 결과와 실제 세어본 결과가 같아야 하기 때문에 괄호→곱셉,나눗셈→덧셈,뺄셈 순으로 계산하라고 하는 것이에요.


사칙연산 순서가 괄호→곱셉,나눗셈→덧셈,뺄셈인 진짜 이유는 바로 우리가 일상생활에서 인지한 것을 그대로 수식으로 표현하고 그것을 똑바로 풀기 위해서에요. 언젠가 무슨 학술회의 결정사항으로 인해 억지로 강요당하고 있는 것이 아니라 가장 직관적이기 때문에 저렇게 사용하는 것이에요.


무턱대고 순서대로 푸는 것이 수식만 보면 매우 직관적인 것처럼 보여요. 그러나 그 이전 단계인 '수식을 만드는 단계'에서 엄청나게 비직관적이에요. 상당히 꼬아놓든가 재배치 과정을 필요로 해요.


사칙연산 순서를 괄호→곱셉,나눗셈→덧셈,뺄셈으로 정해서 계산하라고 하는 진짜 이유는 바로 인지한 대로 표현한 수식을 똑바로 풀기 위해서에요.


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Posted by 좀좀이

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  1. 오랜만에 수학관련 글을 읽어보네요. 아주 신선했습니다.

    2019.10.25 21:03 신고 [ ADDR : EDIT/ DEL : REPLY ]
  2. 좋은 글인것 같습니다. 잘 보고갑니당

    2022.02.04 21:58 신고 [ ADDR : EDIT/ DEL : REPLY ]
  3. 유익한 내용 감사합니다. 영국 수학자의 논문에 실력던 한국 여가수 채연이 생각나네요 사칙 연산 틀려서 ㅎㅎ

    2022.07.27 10:20 신고 [ ADDR : EDIT/ DEL : REPLY ]